ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109799
Темы:    [ Вспомогательные проекции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

  1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
  2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Решение

Предположим противное.

Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего множества.
Тогда проекции хотя бы N векторов на нее направлены в одну сторону; обозначим их 1 , N.

Введем на этой прямой направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону, и выберем N векторов 1 , N так, что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) s>0 ).

При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами i , то проекции всех векторов, кроме 1 , N , направлены в отрицательную сторону; тогда мы обозначим через i какие-то N векторов, отличных от i , i=1 , N .

Для N векторов i найдутся векторы 1 , N-1 такие, что 1+...+N=-(1+...+N-1) . Хотя бы один из векторов i не совпадает ни с одним из j (пусть это 1 ), при этом алгебраическая проекция суммы 1+...+N-1+1 отрицательна и больше s по модулю.
Тогда для векторов 1 , N-1 , 1 существуют N векторов, сумма которых равна -(1+...+N-1+1) , т.е. алгебраическая проекция суммы которых больше s . Противоречие с выбором векторов i .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 04.5.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .