Задача 109799

Темы:    [ Вспомогательные проекции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Подлипский О.К.

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Решение

Предположим противное.

Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего множества.
Тогда проекции хотя бы N векторов на нее направлены в одну сторону; обозначим их ₁ , _N.

Введем на этой прямой направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону, и выберем N векторов ₁ , _N так, что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) s>0 ).

При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами _i , то проекции всех векторов, кроме ₁ , _N , направлены в отрицательную сторону; тогда мы обозначим через _i какие-то N векторов, отличных от _i , i=1 , N .

Для N векторов _i найдутся векторы ₁ , _N-1 такие, что ₁+...+_N=-(₁+...+_N-1) . Хотя бы один из векторов _i не совпадает ни с одним из _j (пусть это ₁ ), при этом алгебраическая проекция суммы ₁+...+_N-1+₁ отрицательна и больше s по модулю.
Тогда для векторов ₁ , _N-1 , ₁ существуют N векторов, сумма которых равна -(₁+...+_N-1+₁) , т.е. алгебраическая проекция суммы которых больше s . Противоречие с выбором векторов _i .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	04.5.11.6