|
|
 |
Условие
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.
- Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
- для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.
Решение
Предположим противное.
Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего
множества.
Тогда проекции хотя бы N векторов на нее направлены в одну
сторону; обозначим их 1 ,
N.
Введем на этой прямой
направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону,
и выберем N векторов 1 ,
N так,
что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) s>0 ).
При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами i , то проекции всех векторов,
кроме
1 ,
N , направлены в отрицательную сторону;
тогда мы обозначим через
i какие-то N векторов, отличных от
i , i=1 , N .
Для N векторов i найдутся векторы
1 ,
N-1 такие, что
1+...+
N=-(
1+...+
N-1) . Хотя бы один из векторов
i не
совпадает ни с одним из
j (пусть это
1 ), при этом
алгебраическая проекция суммы
1+...+
N-1+
1 отрицательна и больше
s по модулю.
Тогда для векторов 1 ,
N-1 ,
1 существуют
N векторов, сумма которых равна -(
1+...+
N-1+
1) , т.е.
алгебраическая проекция суммы которых больше s .
Противоречие с выбором векторов
i .
