Задача 109804

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Протопопов А.

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению  a_m + a_n = a_mn  при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Решение

Предположим противное. Полагая  m = n = 1,  получаем  a₁ + a₁ = a₁,  то есть a₁ = 0.  Поэтому все остальные члены ненулевые. Пусть  a₂ = ^p/_q,  a₃ = ^r/_s.  Из условия следует, что    поэтому    но  2^qr ≠ 3^ps.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.5.10.5