Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S.
Найдите наименьшее возможное значение S. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)
Сумма чисел a1, a2, a3, каждое из которых больше единицы, равна S, причём для любого i = 1, 2, 3.
Докажите, что
Уголком размера n×m , где m,n2 , называется фигура, получаемая из
прямоугольника размера n×m клеток удалением прямоугольника
размера (n-1)×(m-1) клеток.
Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке
произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат.
Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после
чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при
правильной игре?
Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Существуют ли такие двузначные числа ab, cd, что ab·cd = abcd.
Найдите наибольшее натуральное число N, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше N.
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
|
|
 |
Условие
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
Решение
Обозначим через c1 и c2 корни уравнения f(x) = 0, а через x1 и x2 – корни уравнения f(f(x)) = 0, сумма которых равна –1. Множество корней последнего уравнения совпадает с объединением множеств корней уравнений f(x) = c1 и f(x) = c2. Рассмотрим два случая.
1) x1 и x2 являются корнями одного из последних двух уравнений. Тогда их сумма равна – a, откуда a = 1. Можно считать, что c1 ≥ c2. Поскольку
c1 + c2 = –1, то c2 ≤ – ½. Из условия следует, что дискриминант уравнения f(x) = c2 положителен, то есть 1 – 4b + 4c2 > 0. Отсюда 4b < 1 + 4c2 ≤ –1.
2) x1 – корень уравнения f(x) = c1, а x2 – корень уравнения f(x) = c2. Тогда
Поскольку c1 + c2 = – a, а x1 + x2 = –1, то Но тогда
