Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
|
|
 |
Условие
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Решение
По теореме Виета a = – (c + d), b = cd, c = – (a + b), d = ab. Отсюда a + b + c = a + c + d = 0, b = cd, d = ab. Следовательно, b = d = bc = ab.
Если b = 0, то d = 0, c = – a. Если же b ≠ 0, то a = c = 1, b = d = –2.
Ответ
x² + ax, x² – ax (a – любое число); x² + x – 2, x² + x – 2.
