Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Кузнечик умеет прыгать по полоске из n клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число n пропрыгиваемым, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно n > 50, которое не является пропрыгиваемым.
На сторонах AB и CD квадрата ABCD взяты точки K и M соответственно, а на диагонали AC – точка L так, что ML = KL. Пусть P – точка пересечения отрезков MK и BD. Найдите угол KPL.
На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?
В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.
Клетки доски m×n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия
а) из 11,
б) из 10000,
в) из бесконечного числа натуральных чисел,
такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая
арифметическая прогрессия?
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?
Пусть a, b и c – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения , если известно, что это число целое.
|
|
 |
Условие
Пусть a, b и c – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения , если известно, что это число целое.
Решение
Пусть (a + b)(b + c)(c + a) = nabc, где n – целое число.
Пусть среди чисел a, b и c есть равные, например, a = b. Тогда (a, b) = a = 1 и 2(1 + c)2 = nc. Отсюда следует, что 2 делится на c, то есть c = 1 или 2. В первом случае n = 8, а во втором n = 9.
Пусть a < b < c. Если два числа взаимно просты, то сумма этих чисел взаимно проста с каждым из них, поэтому a + b = mc, a + c = kb (m и k – натуральные).
Так как a + b < 2c, то mc < 2c и, значит, m < 2, то есть m = 1 и, следовательно, a + b = c. Значит, a + b = kb – a, или 2a = b(k – 1).
Так как a и b взаимно просты, то 2 делится на b. Учитывая, что 1 ≤ a < b, получаем, что b > 1 и, значит, b = 2. Тогда a = 1, c = 3, n = 10.
Ответ
8, 9, 10.
