Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство  (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

   Решение

---

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

   Решение

---

Натуральные числа d и  d' > d  – делители натурального числа n. Докажите, что  d' > d + ^d²/_n.

   Решение

---

Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

   Решение

---

Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.

Решение

  Пусть  α < 30°.  Расположим прожектор так, чтобы один из крайних лучей BK был перпендикулярен AC (рис. слева). Второй луч пересекает основание в точке M. Но  AK = KC = KM + MC.  Значит, из этих отрезков сложить треугольник нельзя.

  Пусть  α > 30°.  Возьмём на основании AC точки K и L так, чтобы  ∠KBC = ∠LBA = α;  T – середина отрезка AC (рис. справа). На основании возьмём точку R так, чтобы  KT = RC.  Пусть M лежит в пересечении отрезков RC и LC. Возьмём точку N так, что  ∠NBM = α.  Заметим, что N принадлежит отрезку AK.
  Имеем  NM > KM = KT + TM = CR + TM > CM + TM = TC = ½ AC,  откуда   AN + MC < MN.
  Следовательно, из этих отрезков нельзя построить треугольник.
  Осталась одна возможность  α = 30°.
  Пусть MN – освещаемый прожектором отрезок,  ∠ MBN = α = 30°  (рис. слева). Ясно, что BN не перпендикулярно AC. (Иначе точка M совпадёт с A и, значит, луч не внутри треугольника.)   Отразив точку C относительно прямой BN, получим точку D, которая не лежит на AC (иначе  BN ⊥ AC)  (рис. справа).
  Треугольник BDC – равнобедренный и, значит,  ∠DBN = ∠CBN = x  и  NC = DN.  Ясно, что  ∠MBD = ∠NBM – ∠NBD = 30° – x,
∠ABM = ∠ABC – ∠MBN – ∠NBC = 60° – 30° – x = 30° – x.
  Значит, ABD – равнобедренный треугольник, BM – его биссектриса и, значит,  AM = MD.  В треугольнике DMN стороны равны отрезкам AM, MN и NC, то есть из них можно составить треугольник.

Ответ

α = 30°.

Источники и прецеденты использования