Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
С помощью волшебного банкомата можно поменять любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?
На биссектрисе AL треугольника ABC , в котором AL=AC ,
выбрана точка K таким образом, что CK=BL . Докажите,
что CKL=
ABC .
По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?
В треугольнике ABC известно, что AB = BC,
BAC = 45o.
Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в
точке N,
AM = 2 . MC,
NMC = 60o. Найдите отношение
площади треугольника MNC к площади четырёхугольника ABNM.
M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1. Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из её стен, если в комнате а) 10 стен, б) 6 стен?
По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N ,
N2 .
При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра,
встречающаяся в десятичной записи каждого из них.
Найдите наименьшее возможное значение N .
|
|
 |
Условие
По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N ,
N2 .
При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра,
встречающаяся в десятичной записи каждого из них.
Найдите наименьшее возможное значение N .
Решение
Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N>9 . А так как числа,
соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из
них не может быть меньше, чем 19, а большее – меньше, чем 29.
Следовательно, N29.
Равенство N=29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например,
такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу:
1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.
Ответ
29.00
