Задача 110162

Темы:    [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Неравенства с модулями ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что   + + > x + y + z.

Решение

По условию  |x – y| < 2  ⇒  x² – 2xy + y² < 4  ⇒  x² + 2xy + y² < 4(1 + xy)  ⇒  x + y < 2 .  Аналогично
y + z < 2 ,  z + x < 2   ⇒  2x + 2y + 2z < 2 + 2 + 2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	04.4.9.6