Задача 110244

Темы:    [ Правильная призма ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC , боковые рёбра призмы AA1 , BB1 и CC1 перпендикулярны основанию. Сфера, радиус которой равен ребру основания призмы, касается плоскости A1B1C1 и продолжений отрезков AB1 , BC1 и CA1 за точки B1 , C1 и A1 соответственно. Найдите стороны основания призмы, если известно, что боковые рёбра равны 1.

Решение

Пусть сфера радиуса a с центром в точке O касается плоскости основания A1B1C1 данной призмы в точке P1 , а прямых AB1 , BC1 и CA1 – в точках K , L и M соответственно, причём A1B1 = a . Обозначим P1A1 = x , P1B1 = y , P1C1 = z . Если продолжение радиуса OP1 пересекает основание ABC в точке P , то PA = x , PB = y , PC = z . По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к сфере из одной точки

A1M = A1P1 = x, B1K = B1P1 = y, C1L = C1P1 = z.
Из прямоугольных треугольников OMC и OPC находим, что
OC2 = OM2 + CM2 = OM2 + (CA1 + A1M)2 = a2 + ( + x)2,

OC2 = OP2 + PC2 = (1 + a)2 + z2.
Поэтому
(1 + a)2 + z2 = a2 + ( + x)2.
Аналогично,
(1 + a)2 + x2 = a2 + ( + y)2,

(1 + a)2 + y2 = a2 + ( + z)2.
Вычитая почленно из первого равенство второе, из второго третье, из первого третье, получим три равенства:
z2- x2 = ( + x)2- ( + y)2 = (x - y)(2 + x + y),

x2- y2 = ( + y)2- ( + z)2 = (y - z)(2 + y + z),

z2- y2 = ( + x)2- ( + z)2 = (x - z)(2 + x + z).
Предположим, что x > y . Так как 2 + x + y > 0 , то из первого равенства следует, что z > x , поэтому z > y . В то же время, из третьего равенства следует, что z < y , что невозможно. Предположив, что x < y , также получим противоречие. Значит, x = y . Аналогично y = z . Таким образом, P1A1 = P1B1 = P1C1 , т.е. P1 – центр равностороннего треугольника A1B1C1 со стороной a . Поэтому
x= P1A1 = P1B1 = P1C1 = .
Подставив z=x= в равенство
(1 + a)2 + z2 = a2 + ( + x)2,
получим уравнение
(1 + a)2 + = a2 + ( + )2,
из которого находим, что a= - 6 .

Ответ

- 6 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7856