ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110269
Темы:    [ Пирамида (прочее) ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.

Решение

Пусть SO – высота данной пирамиды SA1A2.. An с вершиной S . Тогда SA1O , SA2O , .. , SAnO – углы боковых рёбер пирамиды с плоскостью основания A1A2.. An . По условию задачи

SA1O = SA2O =.. = SAnO,

поэтому прямоугольные треугольники SA1O , SA2O , .. , SAnO равны по катету ( SO – общий катет) и противолежащему острому углу. Значит,
OA1 = OA2 =.. = OAn.

Следовательно, точка O равноудалена от всех вершин многоугольника A1A2.. An , т.е. O – центр окружности, описанной около многоугольника A1A2.. An

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8265

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .