Задача 110269

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.

Решение

Пусть SO – высота данной пирамиды SA1A2.. A_n с вершиной S . Тогда SA1O , SA2O , .. , SA_nO – углы боковых рёбер пирамиды с плоскостью основания A1A2.. A_n . По условию задачи

SA1O = SA2O =.. = SA_nO,
поэтому прямоугольные треугольники SA1O , SA2O , .. , SA_nO равны по катету ( SO – общий катет) и противолежащему острому углу. Значит,
OA1 = OA2 =.. = OA_n.
Следовательно, точка O равноудалена от всех вершин многоугольника A1A2.. A_n , т.е. O – центр окружности, описанной около многоугольника A1A2.. A_n

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8265