Условие
Три последовательные стороны основания четырёхугольной
пирамиды равны 5, 7 и 8. Найдите четвёртую сторону основания,
если известно, что двугранные углы при основании равны.
Решение
Пусть
SO – высота пирамиды
SABCD , в которой
AB = 5
,
BC = 7
,
CD = 8
и боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания.
Опустим перпендикуляры
OK ,
OL ,
OM и
ON из точки
O на прямые
AB ,
BC ,
CD и
AD соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах
SK 
AB ,
SL BC ,
SM CD и
SN AD . Поэтому
OKS ,
OLS ,
OMS и
ONS – линейные углы двугранных углов при соответствующих
сторонах основания пирамиды.
По условию задачи
OKS = OLS = OMS = ONS.
Значит, прямоугольные треугольники
OKS ,
OLS ,
OMS и
ONS равны по
катету и противолежащему острому углу. Поэтому
OK = OL = OM = ON , т.е. точка
O равноудалена
от прямых
AB ,
BC ,
CD и
AD . Следовательно,
O – центр окружности,
вписанной в четырёхугольник
ABCD . По свойству описанного
четырёхугольника
AB + CD = BC + AD , откуда
AD = AB + CD - BC = 5 + 8 - 7 = 6.
Ответ
6.00
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8268 |
