Задача 110293

Темы:    [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан трёхгранный угол OABC с вершиной O , в котором BOC = α , COA = β , AOB = γ . Пусть вписанная в него сфера касается грани BOC в точке K . Найдите угол BOK .

Решение

Пусть сфера с центром Q , вписанная в трёхгранный угол, касается граней AOB и AOC в точках L и M соответственно, а плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые QL и QK , пересекает ребро OB в точке P . Прямая OB перпендикулярна проведённой плоскости, т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым QL и QK этой плоскости. Значит, KP OB и LP OB . Обозначим KOB = ϕ . Прямоугольные треугольники OPK и OPL равны по катету и гипотенузе, поэтому

LOB = LOP = KOP = KOB = ϕ.
Аналогично,
AOM = AOL, COM = COK.
Значит,
β = AOC = AOM + COM = AOL + COK =

= ( AOB - BOL) + ( BOC - BOK) = (γ - ϕ ) + (α - ϕ ) = α + γ - 2ϕ.
Следовательно,
ϕ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8392