Задача 110761

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

Решение

Пусть C₀ – середина стороны AB треугольника ABC , A₁ , B₁ – основания высот, опущенных на стороны BC , AC . Так как треугольники ABA₁ , ABB₁ – прямоугольные, их медианы A₁C₀ , B₁C₀ равны половине гипотенузы AB . Следовательно, если для данных точек C₀A₁ ╜╔ =C₀B₁ , то искомое ГМТ – пустое множество. Это же верно и в случае, когда C₀ – середина A₁B₁ , ибо A₁B₁=AB cos C<AB .
Если же A₁B₁C₀ – равнобедренный треугольник, то точки A , B лежат на окружности σ с центром C₀ и радиусом C₀A₁=C₀B₁ , причем являются концами диаметра этой окружности. Если треугольник ABC остроугольный, то его ортоцентр H является пересечением хорд AA₁ и BB₁ этой окружности (рис.8.4). Тогда угол A₁HB₁ равен полусумме дуг A₁B₁ и AB , т.е. 90^o+ . Следовательно, точка H лежит на дуге окружности с концами A₁ , B₁ , вмещающей этот угол. Аналогично, если треугольник ABC тупоугольный, то H лежит на дополнительной дуге этой же окружности. Если же AB – катет прямоугольного треугольника, то его ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, т.е. с одной из точек A₁ , B₁ , и значит, также лежит на этой окружности.

С другой стороны, если мы возьмем точку H на нашей окружности, то прямые A₁H и B₁H пересекают окружность σ в диаметрально противоположных точках. Тогда это – точки A и B , а C есть пересечение AB₁ и AA₁ ; таким образом, треугольник ABC существует для любой точки H нашей окружности. Следовательно, искомым ГМТ будет вся окружность.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	8
задача
Номер	84