|
|
 |
Условие
Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
Решение
Назовём равнобедренный треугольник хорошим, если у него две хороших стороны. Рассмотрим разбиение, удовлетворяющее условиям задачи. С помощью индукции легко убедиться в справедливости следующего утверждения.
Лемма. Пусть AB – одна из диагоналей разбиения и L – более короткая часть границы P, на которую её делят точки A, B. Если L состоит из n отрезков, то количество хороших равнобедренных треугольников разбиения с вершинами на L не превосходит n/2.
Рассмотрим длиннейшую диагональ разбиения. Пусть Lxy – более короткий участок границы, с концами X и Y. Пусть XYZ – треугольник разбиения, причём Z не принадлежит Lxy. Заметим, что треугольник XYZ – остроугольный или прямоугольный (иначе XZ либо YZ будет длиннее XY).
Обозначим Lxz, Lyz соответствующие участки границы P. Применив лемму к Lxz, Lyz, Lxy, мы видим, что имеется не более 1003 = 2006 : 2 равнобедренных хороших треугольников, за исключением треугольника XYZ (если он таков). Однако если треугольник XYZ хороший, неравенства, получающиеся из леммы, окажутся строгими. Итак, количество хороших равнобедренных треугольников разбиения не превосходит 1003.
С другой стороны, соединяя вершины P через одну, легко построить пример разбиения с 1003 хорошими треугольниками.
