Задача 110801

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ – центры окружностей, вписанных в треугольники соответственно AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Решение

∠B₁A₂C₁ = 90° + ½ ∠A,  ∠B₁A₁C₁ = 180° – ∠A₁BC₁ – A₁CB₁ = 180° – (90° – ½ ∠B) – (90° – ½ ∠C) = ½ (∠B + ∠C).  Поэтому  ∠B₁A₂C₁ + ∠B₁A₁C₁ = 180°,  то есть точка A₂ лежит на вписанной окружности треугольника ABC. Так как треугольник – равнобедренный, A₂ – середина дуги этой окружности. Аналогично B₂ и C₂ – середины дуг A₁C₁ и A₁B₁. Следовательно, лучи A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ – биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁, а значит, пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5716