ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110860
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На продолжении стороны BC треугольника ABC за вершину B отложен отрезок BB', равный стороне AB. Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке M. Докажите, что точки A, B', C и M лежат на одной окружности.


Решение 1

  Согласно свойствам биссектрис AM – биссектриса угла A. Точки A и B' симметричны относительно прямой MB, поэтому треугольники BB'M и BAM) тоже симметричны. Значит,  ∠BB'M = ∠BAM = ∠CAM,  то есть отрезок CM виден из точек A и B' под равными углами.


Решение 2

  Рассмотрим ещё точку N пересечения биссектрис внешних углов A и B (и биссектрисы внутреннего угла C). Углы MCN и MAN – прямые (в силу перпендикулярности биссектрис внешнего и внутреннего углов), поэтому точки A и C лежат на окружности с диаметром MN. Точка B' лежит на этой же окружности как симметричная точке A относительно диаметра MN.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с решением задачи 105104.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2286
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .