Задача 110867

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD  ( BC || AD )  окружность касается основания BC, боковых сторон AB и CD и проходит через точку M пересечения диагоналей AC и BD. Найдите радиус окружности, если  AD : BC = 9 : 7,  а площадь трапеции  S = 8.

Решение

  Пусть окружность касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Поскольку трапеция равнобедренная, L – середина BC и ML ⊥ BC. Обозначим BC = 7a,  AD = 9a.  Пусть прямая, проведённая через точку M параллельно основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Из задачи 115592 следует, что  
  Обозначим через r искомый радиус окружности и продолжим LM до пересечения с основанием AD в точке N. Тогда N – середина AD, LN – высота трапеции,  LM = 2r,  а из подобия треугольников AMD и CMB находим, что  MN = 2r·⁹/₇ = ^18r/₇,  значит,  LN = ^32r/₇.
  По условию  S_ABCD = 8a·^32r/₇ = 8,  откуда  ar = ⁷/₃₂.
  Пусть O – центр окружности. Тогда BO и PO – биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых BC и PQ и секущей BP, значит,  ∠BOP = 90°,  а так как OK – высота прямоугольного треугольника BOP, то  r² = BK·PK = BL·PM = ^7a/₂·^63a/₁₆ = ^72·9a²/₃₂,  откуда  a = .  Подставив в равенство  ar = ⁷/₃₂,  находим, что  r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5731