Условие
В правильной шестиугольной пирамиде
SABCDEF (
S – вершина) сторона
основания равна
2
, высота пирамиды
SH равна 6. Через точку
E
перпендикулярно прямой
AS проходит плоскость, которая пересекает отрезок
SH в точке
O . Точки
P и
Q расположены на прямых
AS и
CE
соответственно, причём прямая
PQ касается сферы радиуса
с центром в точке
O . Найдите наименьшую длину
отрезка
PQ .
Решение
Пусть диагонали
AD и
CE правильного шестиугольника
ABCDEF
пересекаются в точке
N . Из свойств правильного шестиугольника
следует, что
N – середина отрезков
DH и
CE и
AD 
CE .
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
CE SA , значит, прямая
CE лежит в плоскости, проходящей через точку
E перпендикулярно
прямой
SA . Пусть эта плоскость пересекает прямую
SA в точке
K .
Тогда
AH = AB = 2, NH = 
DH = ,
AN = NH+AH = 3,
tg 
SAH = 
= 
= ,
SAH = 60o, NK = AN sin 60o =
3· 
= 
,
ON = 
= 
=
2, OK = NK-ON=-2=
.
.
Пусть прямая, проходящая через точки
P и
Q касается сферы в точке
M .
Тогда
OM PQ . Обозначим
PK=x ,
NQ=y . Из прямоугольных треугольников
NPK ,
KOP ,
MOP ,
QNO и
NPQ находим, что
OP2 = PK2+OK2 = x2+
, NP2=PK2+NK2 = x2+
,
MP2 = OP2-OM2 = (x2+) - 
=
x2+5,
QO2=NQ2+NO2 = y2+4, QM2 = QO2-OM2 = (y2+4)-=
y2+
,
PQ2 = NP2+NQ2 = (x2+)+y2=x2+y2+,
а т.к.
PQ = PM+MQ , то получим уравнение
+
= 
,
из которого находим, что
y2
=
- . Тогда
PQ2 = x2+y2+ = x2+-+=
x2+5++-5=
=x2+5++
-5 
2
+ 
=
+ = 25,
причём равенство достигается в случае, когда
x2+5= 
(x2+5)2 = 
x2 = .
Следовательно, наименьшая длина отрезка
PQ равна 5.
Ответ
PQ = 5
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8815 |
