Задача 110949

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вершина S пирамиды SABC находится на расстоянии 4 от центра сферы радиуса 1, которая проходит через точки A , B и C и пересекает ребра SA , SB , SC соответственно в точках A1 , B1 , C1 . Отношение длин отрезков B1C1 и BC равно , отношение площадей треугольников SA1B1 и SAB равно , а отношение объёмов пирамид SA1B1C1 и SABC равно . Найдите длины отрезков SA1 , SB1 , SC1 .

Решение

Пусть O – центр окружности, M и M1 – точки пересечения прямой SO со сферой ( M между O и S ). Тогда

SA· SA1 = SB· SB1 = SC· SC1 = SM· SM1 = (SO-OM)(SO+OM1) = (4-1)(4+1)=15.
Кроме того,
= · =,

= · · = .
Поэтому
= = .
Перемножив почленно равенства SC· SC1=15 и = , получим, что SC12 = 12 . Тогда
SC = SC1 = · = .
Из подобия треугольников SBC и SB1C1 следует, что = = , откуда
SB1 = = = .
Тогда SB = = . Поэтому = = , а т.к. · · = , то
= = =.
Перемножив почленно равенства SA· SA1= 15 и = , получим, что SA2 = = 10 . Следовательно, SA = .

Ответ

, , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8851