Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

   Решение

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вычисление площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка K. Отрезки BK и CD пересекаются в точке L.
Найдите площадь треугольника ABK, если  BL = 2,  KL = 5,  а высота ромба равна 1.

Решение

Пусть H – проекция точки L на прямую AB. Тогда  LH = 1.  Значит, в прямоугольном треугольнике BHL катет LH равен половине гипотенузы BL, поэтому  ∠LBH = 30°.  Пусть  AD = 2x.  Тогда  DK = 5x.  По теореме косинусов  AK² = AB² + BK² – 2AB·BK cos 30°,  или  
 Отсюда находим, что    Пусть P – проекция точки B на прямую AK. Тогда BP – высота ромба ABCD и треугольника ABK. Следовательно,  

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

.

Источники и прецеденты использования