Задача 110985

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC ( C = 90^o) . Окружность радиуса проходит через точки A , C , D и пересекает сторону AB в точке E так, что AE:AB=3:5 . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Окружность проходит через точки A , D и C , причём хорда AD видна из точки C под прямым углом, значит, AD – диаметр окружности. Поэтому AED = 90^o . Пусть AE=3x , BE=2x . Из равенства прямоугольных треугольников ACD и AED (по гипотенузе и острому углу) следует, что AC=AE=3x . По теореме Пифагора

BC= = = 4x.
По свойству биссектрисы треугольника == , поэтому
CD=BC=· 4x=x.
По теореме Пифагора AD2 = AC2+CD2 , или 4· 15=9x2+ x2 , откуда находим, что x2= . Следовательно,
S_{Δ ABC} = BC· AC = · 4x· 3x= 6x2 = 6· = 32.

Ответ

32.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5867