Задача 111153

Темы:    [ Построение сечений ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка K так, что AK= , CK= . Через точку K проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найдите объём призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого – нет.

Решение

Пусть ϕ1 и ϕ2 – многогранники, на которые рассекает призму плоскость α , причём около многогранника ϕ1 можно описать сферы, а около ϕ2 – нельзя, S1 и S2 соответственно – площади их поверхностей. Каждая грань вписанного в сферу многогранника – вписанный в окружность многоугольник, т.к. сечение сферы плоскостью этой грани – окружность, на которой лежат вершины этой грани. Предположим, что плоскость α пересекает ребро A1C1 призмы в некоторой точке P . Если при этом PK || AA1 , то плоскость α перпендикулярна плоскости ABC , что невозможно, т.к. угол между этими плоскостями равен arctg . Если же прямая PK не параллельна CC1 , то она разбивает прямоугольник на две прямоугольные трапеции, что также невозможно, т.к. около прмоугольной трапеции нельзя описать окружность. Значит, плоскость α пересекает либо ребро CC1 , либо ребро AA1 . 1. Пусть плоскость α пересекает ребро CC1 в некоторой точке N . Тогда гранью многогранника ϕ1 может быть только треугольник KCN , т.к. окружность, проходящая через точки A , A1 и C1 , – это окружность, описанная около прямоугольника AA1C1C , и она не может проходить через точки N и K . Если при этом α пересекает ребро BC в некоторой точке Q , то многогранник ϕ1 – треугольная пирамида CKQN , и площадь S1 её поверхности, очевидно, меньше площади S2 . Если же α пересекает ребро B1C1 в некоторой точке H , то точка D пересечения прямых NH и BB1 лежала бы на продолжении ребра BB1 за точку B1 , а точка F пересечения прямых NK и AA1 – на продолжении ребра AA1 за точку A , поэтому прямая DF (а значит, и плоскость α ) пересекала бы рёбра AB и A1B1 , что невозможно, т.к. прямая DE разбивала бы грань AA1B1 на две прямоугольные трапеции. Аналогично, плоскость α не может пересекать рёбра AB и A1B1 . Таким образом, остаётся только одна возможность – плоскость α пересекает ребро BB1 в некоторой точке M . При этом MN || BC , т.к. в противном случае прямая MN разобъёт прямоугольник BB1C1C на две прямоугольные трапеции. Следовательно, плоскость α пересекает основание ABC по прямой, проходящей через точку K параллельно BC . Пусть эта прямая пересекает ребро AB в точке L . Тогда

= = , AL = AK = , BL=CK = ,
2. Пусть плоскость α пересекает ребро CC1 в некоторой точке N' . Рассуждая аналогично, докажем, что α пересекает основание ABC по некоторому отрезку KL' , причём KL' || AB и
CL'=CK = , BL'=AK = .
В этом случае
S1=S_ABL'K + 2S_{Δ KAN'} + S_сеч. < S_{Δ ABC} + 2· S_ACC1A1 + S_сеч. < S2,
что противоречит условию. Таким образом, установлено, что плоскость α может пересекать призму только по равнобедренной трапеции KLMN . 3. Пусть T и T1 – середины BC и B1C1 соответственно, R – точка пересечения медианы AT равностороннего треугольника ABC с острезком KL , E – точка пересечения отрезков TT1 и MN . Тогда ERT – линейный угол двугранного угла между плоскостью основания призмы и плоскостью α . Обозначим ERT = ϕ , AA1=h , AB=BC=AC = a . По условию задачи tg ϕ = , a= + = 1 . Из прямоугольного треугольника ERT находим, что
ET = RT tg ϕ = AT tg ϕ = · tg ϕ= · · = .
Тогда
S_BCNM = BC· ET = 1· = ,

S_{Δ KCN} = S_{Δ LBM} = BL· BM = · · = ,

S_BCKL = S_{Δ ABC} - S_{Δ AKL} = S_{Δ ABC}-S_{Δ ABC}= · =,

S_MB1C1N = B1C1· (h-BM) = h - ,

S_AKNC1A1= S_ALMB1A1 = S_AA1B1B - S_{Δ LBM} = AB· h - = h-,

S_{Δ AKL} = · = ,

S1 = S_BCNM +2S_{Δ LBM}+S_BCKL+S_сеч. =

=+++S_сеч.= +S_сеч.,

S2 = S_MB1C1N+ 2S_AKNC1A1+S_{Δ ABC} + S_{Δ AKL} + S_сеч.=

=h - + 2(h-) ++ +S_сеч. = 3h- +S_сеч.,
а т.к. S1=S2 , то
+S_сеч.= 3h- +S_сеч.,
откуда h = . Следовательно, если V – объём призмы, то
V = S_{Δ ABC}· h = · =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8775