Условие
На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята
точка K так, что AK=
, CK=
. Через точку K
проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg
и рассекающая призму на два многогранника, площади
поверхностей которых равны. Найдите объём призмы, если известно, что
около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого
– нет.
Решение
Пусть ϕ1 и ϕ2 – многогранники, на которые рассекает призму
плоскость α , причём около многогранника ϕ1 можно описать
сферы, а около ϕ2 – нельзя, S1 и S2 соответственно – площади
их поверхностей. Каждая грань вписанного в сферу многогранника – вписанный
в окружность многоугольник, т.к. сечение сферы плоскостью этой грани – окружность,
на которой лежат вершины этой грани.
Предположим, что плоскость α пересекает ребро A1C1 призмы в некоторой
точке P . Если при этом PK || AA1 , то плоскость α перпендикулярна
плоскости ABC , что невозможно, т.к. угол между этими плоскостями равен
arctg . Если же прямая PK не параллельна CC1 , то она разбивает
прямоугольник на две прямоугольные трапеции, что также невозможно, т.к. около прмоугольной
трапеции нельзя описать окружность. Значит, плоскость α пересекает либо ребро
CC1 , либо ребро AA1 .
1. Пусть плоскость α пересекает ребро CC1 в некоторой точке N . Тогда
гранью многогранника ϕ1 может быть только треугольник KCN , т.к. окружность,
проходящая через точки A , A1 и C1 , – это окружность, описанная около
прямоугольника AA1C1C , и она не может проходить через точки N и K .
Если при этом α пересекает ребро BC в некоторой точке Q , то многогранник
ϕ1 – треугольная пирамида CKQN , и площадь S1 её поверхности, очевидно, меньше
площади S2 . Если же α пересекает ребро B1C1 в некоторой точке
H , то точка D пересечения прямых NH и BB1 лежала бы на продолжении ребра
BB1 за точку B1 , а точка F пересечения прямых NK и AA1 – на
продолжении ребра AA1 за точку A , поэтому прямая DF (а значит, и плоскость α )
пересекала бы
рёбра AB и A1B1 , что невозможно, т.к. прямая DE разбивала бы грань
AA1B1 на две прямоугольные трапеции. Аналогично, плоскость α не может
пересекать рёбра AB и A1B1 .
Таким образом, остаётся только одна возможность –
плоскость α пересекает ребро BB1 в некоторой точке M . При этом
MN || BC , т.к. в противном случае прямая MN разобъёт прямоугольник BB1C1C
на две прямоугольные трапеции. Следовательно, плоскость α пересекает основание ABC по
прямой, проходящей через точку K параллельно BC . Пусть эта прямая пересекает ребро
AB в точке L . Тогда
= 
= 
, AL = AK = ,
BL=CK = ,
2. Пусть плоскость
α пересекает ребро
CC1
в некоторой точке
N' .
Рассуждая аналогично, докажем, что
α пересекает основание
ABC по некоторому
отрезку
KL' , причём
KL' || AB и
CL'=CK = , BL'=AK = .
В этом случае
S1=SABL'K + 2SΔ KAN' + Sсеч. <
SΔ ABC + 2· 
SACC1A1 + Sсеч. < S2,
что противоречит условию.
Таким образом, установлено, что плоскость
α может пересекать призму только по
равнобедренной трапеции
KLMN .
3. Пусть
T и
T1
– середины
BC и
B1
C1
соответственно,
R – точка
пересечения медианы
AT равностороннего треугольника
ABC с острезком
KL ,
E –
точка пересечения отрезков
TT1
и
MN . Тогда
ERT – линейный угол двугранного
угла между плоскостью основания призмы и плоскостью
α . Обозначим
ERT = ϕ ,
AA1
=h ,
AB=BC=AC = a . По условию задачи
tg ϕ = ,
a= + = 1
. Из прямоугольного треугольника
ERT находим, что
ET = RT tg ϕ = AT tg ϕ = · 
tg ϕ=
· 
· = 
.
Тогда
SBCNM = BC· ET = 1· = ,
SΔ KCN = SΔ LBM = 
BL· BM =
· · = 
,
SBCKL = SΔ ABC - SΔ AKL = SΔ ABC-
SΔ ABC=
· 
=
,
SMB1C1N = B1C1· (h-BM) = h - ,
SAKNC1A1= SALMB1A1 = SAA1B1B - SΔ LBM =
AB· h - = h-,
SΔ AKL = · = 
,
S1 = SBCNM +2SΔ LBM+SBCKL+Sсеч. =
=+
++Sсеч.=
+Sсеч.,
S2 = SMB1C1N+ 2SAKNC1A1+SΔ ABC +
SΔ AKL + Sсеч.=
=h - + 2(h-) +
+
+Sсеч. =
3h- +Sсеч.,
а т.к.
S1
=S2
, то
+Sсеч.= 3h- +Sсеч.,
откуда
h = .
Следовательно, если
V – объём призмы, то
V = SΔ ABC· h = · =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8775 |
