Версия для печати
Убрать все задачи

---

Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и M соответственно так, что  KM || AC.  Отрезки AM и KC пересекаются в точке O. Известно, что  AK = AO  и  KM = MC.  Докажите, что  AM = KB.

Решение

  Пусть  ∠AKO = ∠AOK = ∠MOC = α,  ∠MKC = ∠MCK = ∠ACO = β  (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. В треугольниках KCA и OCM две пары соответственно равных углов, поэтому и третьи углы равны:  ∠CAK = ∠CMO = ∠AMC.  Заметим, что  ∠MKB = ∠CAK  и  ∠ACM = ∠KMB.  Значит, треугольники AMC и BKM равны по стороне и двум углам. Следовательно,  AM = KB.

  Второй способ. Лучи CA и CB симметричны относительно биссектрисы CK угла C. Значит, точка D, симметричная B относительно этой биссектрисы, лежит на луче CA (рис. справа).  ∠KAM = ∠KAO = 180° – 2α,  ∠DKA = ∠DKC – α = ∠BKC – α = 180° – 2α.  Следовательно,  DK || AM.  Значит, DKMA – параллелограмм и  BM = DK = AM.

Источники и прецеденты использования