Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
Кощей Бессмертный похитил Василису-премудрую у Иванушки-дурачка. Когда Иванушка пришёл к Кощею за невестой, то тот предложил Иванушке узнать свою Василису. В темнице, куда приведут Иванушку, будет и Василиса, и Баба Яга, превратившаяся в Василису так, что не отличишь. Иванушке разрешено задать каждой из них один вопрос: "Ты Василиса?". Иванушка знает, что Баба Яга всегда врёт, но Василиса об этом не знает. Сможет ли Иванушка узнать свою невесту?
Докажите тождество
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?
Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длины 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии y км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии y км от другой её границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал своё путешествие, рано или поздно он остановится в нём на ночлег или же в нём проснётся.
|
|
 |
Условие
Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длины 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии y км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии y км от другой её границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал своё путешествие, рано или поздно он остановится в нём на ночлег или же в нём проснётся.
Решение
Назовём точки трассы A и A' симметричными, если длина пути от точки A до одной границы зоны в одном направлении равна длине пути от точки A' до другой границы в противоположном направлении. Например, если велосипедист уснёт в точке аномальной зоны, то проснется он в симметричной точке. Удобно считать, что трасса представляет собой окружность, тогда имеем осевую симметрию относительно диаметра, выходящего из середины зоны.
Лемма. Если велосипедист стартует в некоторой точке, рано или поздно он заснёт в симметричной точке.
Доказательство. Пусть велосипедист стартовал в точке A0. Вечером он заснул в точке A1, на следующий вечер – в A2, и так далее до тех пор, пока на n-ю ночь он не заснул в аномальной зоне в точке An. Тогда просыпается он в точке A'n. Значит, этим вечером велосипедист засыпает в точке A'n–1, на следующий вечер – в точке A'n–2 и так далее, пока не заснёт в точке A'0.
Разберём 2 случая.
1) Велосипедист стартовал из точки A вне аномальной зоны. Тогда по лемме велосипедист однажды заснёт (и проснётся) в точке A', симметричной точке старта. Применив лемму к точке A', получим, что когда-нибудь велосипедист заснёт в точке A.
2) Велосипедист стартовал из точки A в аномальной зоне. По
лемме он однажды заснёт в точке A', симметричной точке старта. Проснётся же он в точке A (то есть схема его перемещений зацикливается).
