Задача 111380

Темы:    [ Cфера, вписанная в призму ] [ Сфера, вписанная в двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной a . Прямая, соединяющая одну из вершин верхнего основания с центром нижнего основания, перпендикулярна плоскостям оснований. Известно, что внутрь этой призмы можно поместить шар, касающийся всех граней призмы. Найдите боковое ребро призмы.

Решение

Пусть H – центр основания ABC призмы ABCA1B1C1 (рис.1), A1H – высота призмы, O – центр данного шара, r – радиус шара, M и M1 – середины рёбер BC и B1C1 соответственно, A1SH= α – угол бокового ребра призмы с плоскостью её основания, P – точка касания шара с плоскостью основания ABC . Шар касается параллельных плоскостей ABC и A1B1C1 , поэтому

r = A1H= AH tg α = · tg α = tg α.
Шар вписан в двугранный угол с ребром AA1 , поэтому его центр лежит в биссекторной плоскости этого угла, т.е. в плоскости AMM1A1 . Рассмотрим сечение призмы и шара этой плоскостью (рис.2). Получим параллелограмм AMM1A1 и окружность с центром O радиуса r , касающуюся сторон AM , MM1 и A1M1 , причём стороны AM – в точке P . Из прямоугольного треугольника OMP находим, что
MP = OP tg OMP = r ctg (180^o-α) = r tg .
Пусть HMA1= β – угол боковой грани правильной треугольной пирамиды A1ABC с плоскостью её основания ABC . Тогда
tg β = = = · tg α=2 tg α,
а т.к. tg β = , то из уравнения = 2 tg α находим, что
tg = , ctg = = .
Шар вписан в двугранный угол при с ребром AC призмы, поэтому центр O шара лежит в биссекторной плоскости этого угла. Пусть PQ – перпендикуляр, опущенный из точки P на ребро AC . По теореме о трёх перпендикулярах OQ AC , значит, OQP – линейный угол между указанной биссекторной плоскостью и плоскость основания ABC . Поэтому OQP = . Из прямоугольных треугольников OPQ и APQ находим, что
PQ = OP ctg = r ctg , AP = 2PQ = 2r ctg ,
а т.к. AM=AP+MP , то
= 2r ctg +r tg , = tg α ctg + tg α tg ,

3 = 2 tg α ctg + tg α tg , 3 = tg α (2 ctg + tg ),

3 = tg α (2 ctg + tg ), 3= tg α (+ tg ),

3=+ tg α tg , 3=+1 +.
Из последнего уравнения находим, что tg2 = , а т.к. tg < 1 , то условию задачи удовлетворяет только tg2 = . Тогда
cos α = = =.
Наконец, из прямоугольного треугольника AHA1 находим, что
AA1 = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8977