Задача 111382

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильная пирамида ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана правильная треугольная пирамида SABC ( S – её вершина). Ребро SC этой пирамиды совпадает с боковым ребром правильной треугольной призмы A1B1CA2B2S ( A1A2 , B1B2 и CS – боковые рёбра, а A1B1C – одно из оснований). Вершины призмы A1 и B1 лежат в плоскости грани SAB пирамиды. Какую долю от объёма всей пирамиды составляет объём части пирамиды, лежащей внутри призмы, если отношение длины бокового ребра призмы к длине стороны её основания равно .

Решение

Пусть плоскость, проходящая через точку C перпендикулярно прямой SC пересекает плоскость грани ASB по прямой l . Тогда вершины A1 и B1 правильной треугольной призмы A1B1CA2B2S лежат на прямой l . Пусть SH – высота правильной пирамиды SABC , M – середина ребра AB , E , P и F – точки пересечения продолжений отрезков соответственно SA , SM и SB с прямой l , а L и K – точки пересечения с прямой AB отрезков соответственно SA1 и SB1 . Обозначим SCH = α , SMH = β , CSM = γ , AB=a . Тогда по условию задачи SC = . Из прямоугольных треугольников SCH и SMH находим, что

cos α = = = , α = 60^o, SH = CH tg α = · = a,

tg β = = = 2, cos β = = = ,

SM = = = .
Тогда
tg γ = tg (180^o - α - β) = - tg (α+β) = - = - = .
Тогда
cos γ = = = .
Поскольку прямая CP лежит в плоскости, перпендикулярной прямой SC , угол SCP – прямой. Из прямоугольного треугольника SCP находим, что
CP = SC tg γ = · = a, SP = = = .
Заметим, что отрезок CP – высота равностороннего треугольника CA1B1 – основания правильной призмы A1B1CA2B2S . Обозначим A1B1 = b . Из равенства CP = = a находим, что b= . Треугольник SEF подобен треугольнику SAB , а треугольник SA1B1 – треугольнику SLK , причём в обоих случаях коэффициент подобия равен = = , P – общая середина отрезков EF и A1B1 , а M – общая середина отрезков AB и KL . Тогда
KL = A1B1 = · = <a=AB.
Следовательно, треугольная пирамида SCKL – часть пирамиды SABC , содержащаяся внутри призмы A1B1CA2B2S , и
= = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8979