Задача 111416

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильная призма ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Точки A , B , C , D , E и F – вершины нижнего основания правильной шестиугольной призмы, точки M , N , P , Q , R и S – середины сторон верхнего основания, точки O и O1 – соответственно центры нижнего и верхнего оснований. Найдите объём общей части пирамид O1ABCDEF и OMNPQRS , если объём призмы равен V .

Решение

Пусть точка P лежит на ребре C1D1 призмы, T – середина ребра CD . Тогда O1P=OT . Если диагонали O1T и OP прямоугольника OO1PT пересекаются в точке G , то G – середина апофемы O1T правильной пирамиды O1ABCDEF . Следовательно, боковое ребро OP правильной пирамиды OMNPQRS пересекает боковую грань CO1D правильной пирамиды O1ABCDEF в середине апофемы, лежащей в этой грани. Аналогично для остальных боковых рёбер пирамиды OMNPQRS . Пусть точка N лежит на ребре B1C1 призмы, H – точка пересечения отрезка O1C1 со стороной NP основания пирамиды OMNPQRS . Тогда H – середина NP и O1H = O1C1=OC . Рассмотрим плоскость прямоугольника OO1C1C . Если отрезки OH и O1C пересекаются в точке X , то треугольники HXO1 и OXC подобны с коэффициентом = , значит, боковое ребро O1C правильной пирамиды O1ABCDEF пересекает боковую грань ONP правильной пирамиды OMNPQRS в точке, лежащей на её апофеме, и делится этой точкой в отношении 3:4 , считая от вершины O1 . Аналогично для остальных боковых рёбер пирамиды O1ABCDEF . Пусть Y – точка пересечения бокового ребра O1D пирамиды O1ABCDEF с лежащей в грани OPQ апофемой пирамиды OMNPQRS . Рассмотрим четырёхугольную пирамиду OO1XGY с вершиной O . Её высота – перпендикуляр OZ , опущенный из точки O на плоскость CO1D , т.е. высота треугольной пирамиды OO1CD . Обозначим OZ=h , S_{Δ CO}1D = s . Тогда V_OO1CD= sh . С другой стороны,

V_OO1CD= V_O1ABCDEF = · · V= V,
а т.к.
S_O1XGY = 2S_{Δ O}1GX= 2· · · S_{Δ O}1CT= 2· · · =s.
Тогда
V_OO1XGY = S_O1XGY· h = sh= V_OO1CD = · V = V.
Общую часть пирамид O1ABCDEF и OMNPQRS можно представить в виде объединения шести четырёхугольных пирамид, равных пирамиде OO1XGY , следовательно, объём общей части равен 6· V = V .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9003