Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

   Решение

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .

   Решение

Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?

   Решение

Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.

   Решение

Темы:    [ Три окружности одного радиуса ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три равные окружности пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник с вершинами в остальных точках попарного пересечения окружностей равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей.

Решение

Пусть данные окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точке A, окружности с центрами O₂ и O₃ – в точке B, окружности с центрами O₁ и O₃ – в точке C, а M – общая точка трёх окружностей. Стороны четырёхугольника O₁MO₂A равны как радиусы равных окружностей, поэтому O₁MO₂A – ромб. Аналогично O₁MO₃C – ромб, значит,  AO₂ = O₁M = CO₃  и  AO₂ || CO₃,  поэтому четырёхугольник AO₂O₃C – параллелограмм. Следовательно,
AC = O₂O₃.  Аналогично  BC = O₁O₂  и  AB = O₁O₃. Таким образом, треугольники ABC и O₃O₁O₂ равны по трём сторонам.

Источники и прецеденты использования