Задача 111476

Темы:    [ Три окружности одного радиуса ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны три равных окружности, пересекающихся в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Докажите, что полученные три прямые пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точке A, окружности с центрами O₂ и O₃ – в точке B, окружности с центрами O₁ и O₃ – в точке C, а M – общая точка трёх окружностей. O₁MO₂A и O₁MO₃C – ромбы, значит,  AO₂ || CO₃.  Следовательно, четырёхугольник AO₂O₃C – параллелограмм. Диагональ AO₃ этого параллелограмма проходит через середину диагонали CO₂. То же верно для отрезка BO₁. Следовательно, прямые AO₃, BO₁ и CO₂ пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4622