ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111476
Темы:    [ Три окружности одного радиуса ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны три равных окружности, пересекающихся в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Докажите, что полученные три прямые пересекаются в одной точке.


Решение

Пусть окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точке A, окружности с центрами O2 и O3 – в точке B, окружности с центрами O1 и O3 – в точке C, а M – общая точка трёх окружностей. O1MO2A и O1MO3C – ромбы, значит,  AO2 || CO3.  Следовательно, четырёхугольник AO2O3C – параллелограмм. Диагональ AO3 этого параллелограмма проходит через середину диагонали CO2. То же верно для отрезка BO1. Следовательно, прямые AO3, BO1 и CO2 пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4622

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .