Задача 111520

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вычисление длин дуг ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и 3r соответственно, M – точка касания окружностей, AB – общая внешняя касательная этих окружностей (точка A лежит на превой окружности, B – на второй). Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на радиус O2B второй окружности. В прямоугольном треугольнике O1O2F известно, что

O1O2 = O1M+O2M = r+3r = 4r, O2F = O2B-BF = O2F-O1A = 3r-r = 2r,
поэтому
FO2O1 = 60^o, AO1O2 = 120^o, AB = O1F = 2r=6,
откуда r=3 , 3r=9 . Пусть P – периметр искомой фигуры, l1 и l2 – длины внешних частей первой и второй окружностей соответственно.
l1 = · 2π r = · 2π · 3= 2π, l2 = · 2π · 3r = · 2π · 9 = 12π
Следовательно,
P = 2AB + l1+l2 = 12 + 14π.

Ответ

14π+12 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4605