Задача 111632

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (см. рис.).

Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.

Решение 1

  Пусть сторона квадрата равна 2. Тогда его площадь равна 4. А площадь двенадцатиугольника равна 3 (см. зад. 111633). Значит, площадь оставшейся части (а она состоит из четырех фигур, равных заштрихованной) равна 1. Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна ¼, что и составляет ¹/₁₂ площади двенадцатиугольника.

Решение 2

  Заметим, что каждый угол правильного двенадцатиугольника равен 150°. Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них – ABCD (см. рис.).

  Пусть P и Q – точки внутри квадрата ABCD, для которых  ∠PAB = ∠PBA = ∠QBC = ∠QCB = 15°.  Тогда  ∠APB = ∠BQC = 150°,  ∠PBQ = 60°,  а равнобедренные треугольники APB и BQC равны. Значит,  ∠BPQ = ∠BQP = 60°,  AP = BP = PQ = BQ = CQ.  Теперь нетрудно проверить, что
∠APQ = ∠PQC = 150°.  Следовательно, AP, PQ и QC – стороны правильного двенадцатиугольника, о котором говорится в условии задачи. Пусть O – центр описанной окружности треугольника PDQ. Тогда  ∠POD = ∠QOD = 150°,  ∠POQ = 60°,  поэтому треугольник POQ равен треугольнику PBQ, а треугольники DOP и DOQ равны треугольникам APB и BQC. Таким образом, сумма площадей треугольников APB, BPQ и BQC равна площади треугольника PDQ, то есть в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4177