Задача 111663

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD , BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE .

Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда O — точка пересечения диагоналей AD и BE прямоугольника ABDE . Поэтому

S_{Δ AOB} = S_{Δ DOE} = S_{Δ AOE}.
Аналогично,
S_{Δ BOC}=S_{Δ EOF}=S_{Δ COE}, S_{Δ COD}=S_{Δ AOF}=S_{Δ AOC}.
Следовательно,
S_ABCDEF = 2S_{Δ AOB}+2S_{Δ BOC}+2S_{Δ COD}= 2(S_{Δ AOB}+S_{Δ BOC}+S_{Δ COD})=

=2(S_{Δ AOE}+S_{Δ COE}+S_{Δ AOC})= 2S_{Δ ACE}.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4181