Задача 111672

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к двум противоположным сторонам четырёхугольника, равновелики тогда и только тогда, когда две другие стороны четырёхугольника параллельны.

Решение

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O , причём BC || AD . Тогда треугольники ABD и ACD равновелики, т.к. у них одно и то же основание AD и равные высоты. Следовательно,

S_{Δ AOB}=S_{Δ ABD}-S_{Δ AOD}= S_{Δ ACD}-S_{Δ AOD}=S_{Δ COD},
т.е. треугольники AOB и COD равновелики. Пусть теперь треугольники AOB и COD равновелики. Тогда равновелики и треугольники ABD и ACD , т.к.
S_{Δ ABD}=S_{Δ AOB}+S_{Δ AOD}= S_{Δ COD}+S_{Δ AOD}= S_{Δ ACD}.
У этих треугольников общее основание AD , поэтому их высоты, опущенные на AD , равны. Следовательно, BC || AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4190