Условие
Хорда AB разбивает окружность S на две дуги.
Окружность S1 касается хорды AB в точке M
и одной из дуг в точке N . Докажите, что
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .
Решение
а) Пусть O и O1 — центры окружностей S и S1
соответственно. Поскольку OP=ON и O1M = O1N (радиусы
одной окружности), треугольники OPN и O1MN —
равнобедренные, причём OPN — их общий угол при основаниях.
Следовательно, точки N , M и P лежат на одной прямой.
Другой способ. Расмотрим гомотетию с центром в точке N
касания окружностей, переводящую окружность S1 в
окружность S . Касательная AB к окружности S1
перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности
S , касательная, параллельная хорде AB , делит дугу
AB пополам. Тогда точка M перейдёт в середину
P дуги AB , не содержащей точку N . Следовательно,
прямая MN проходит через середину P этой дуги.
б) Продолжим радиус OP окружности S до пересечения с
хордой AB в точке K . Тогда K — середина хорды AB .
Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении
отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что
Следовательно, PQ=AP . Другой способ. Продолжим PO до пересечения с окружностью S в точке L . Прямоугольные треугольники PKM и PNL подобны, поэтому
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2893 |
