Задача 111699

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .

Решение

а) Пусть O и O1 — центры окружностей S и S1 соответственно. Поскольку OP=ON и O1M = O1N (радиусы одной окружности), треугольники OPN и O1MN — равнобедренные, причём OPN — их общий угол при основаниях. Следовательно, точки N , M и P лежат на одной прямой. Другой способ. Расмотрим гомотетию с центром в точке N касания окружностей, переводящую окружность S1 в окружность S . Касательная AB к окружности S1 перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности S , касательная, параллельная хорде AB , делит дугу AB пополам. Тогда точка M перейдёт в середину P дуги AB , не содержащей точку N . Следовательно, прямая MN проходит через середину P этой дуги. б) Продолжим радиус OP окружности S до пересечения с хордой AB в точке K . Тогда K — середина хорды AB . Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что

PQ2 = PM· PN = PM(PM+MN)= PM2+PM· MN =

=(PK2+KM2) + AM· MB = (PK2+KM2) + (AK+KM)(BK-KM)=

=(PK2+KM2) + (AK+KM)(AK-KM)= (PK2+KM2) + (AK2-KM2)=

=PK2+AK2 = AP2.
Следовательно, PQ=AP . Другой способ. Продолжим PO до пересечения с окружностью S в точке L . Прямоугольные треугольники PKM и PNL подобны, поэтому = , откуда PM· PN = PK· PL . Кроме того AK — высота прямоугольного треугольника APL , проведённая из вершины прямого угла PAL . Следовательно,
PQ2 = PM· PN = PK· PL = PA2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2893