Условие
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Решение
а) Пусть в треугольнике ABC ∠A < ∠B ≤ ∠C. Тогда серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC пересекают сторону AB. Отрезки этих перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, имеют равные проекции на прямые, перпендикулярные AB, но образуют с этими прямыми разные углы. Следовательно, они не равны.
Пусть теперь ∠A ≤ ∠B < ∠C. Тогда серединные перпендикуляры к AB и AC пересекают соответственно AC и AB и, значит, отрезают от
треугольника ABC подобные, но не равные треугольники. Отрезки перпендикуляров, лежащие внутри треугольника, являются соответствующими
сторонами этих треугольников и, следовательно, не равны.
б) Например, рассмотрим треугольник с углами A = π/8, B = π/4, C = 5π/8 и единичным радиусом описанной окружности. В нем серединный перпендикуляр к AB пересекает сторону AC и его отрезок, лежащий внутри треугольника, равен ½ AB tg∠A = sin 5π/8 tg π/8 = cos π/8 tg π/8 = sin π/8. Серединный перпендикуляр к BC пересекает AB и длина соответствующего отрезка равна ½ BC tg∠B = sin π/8. Таким образом эти отрезки равны.
в) Если треугольник равнобедренный, то, как показано в а), отрезки
серединных перпендикуляров к боковым сторонам короче высоты.
Пусть ∠A < ∠B < ∠C. Тогда из условия следует, что cos∠A tg∠B = sin∠C. Значит, отношение t отрезков перпендикуляров к наибольшей и средней сторонам треугольника равно отношению самих этих сторон, то есть
Из равенства получаем sin²∠A cos²∠B = sin²∠B (1 – cos∠B)²t², или (1 – t² cos²∠B) cos²∠B = (1 – cos²∠B)(1 – cos∠B)²t², откуда
Исследовав функцию можно убедиться, что её максимум
меньше, чем 4/3.
Ответ
а) Верно; б) неверно; в) не могут.
Замечания
1. Условию удовлетворяет также любой треугольник, в котором A < ∠B < ∠C и cos∠A tg∠B = sin∠C.
2. Из приведённых в а) рассуждений следует, что наименьшую длину имеет отрезок серединного перпендикуляра, проведённого к средней стороне треугольника.
