ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111797
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение





Заметим, что для любой точки P , лежащей на меньшей дуге A'B' окружности σ , выполнено неравенство APB'+ BPA' A'PB'<180o (см. рис.) , поэтому точки K и L не лежат на этой дуге. Тогда из условия получаем AKB+ A'KB'= ALB+ A'LB'=180o , и AKB= ALB=180o- A'IB'/2=180o-(180o- C)/2=90o+ C/2 (здесь I – центр вписанной окружности). Заметим, что AIB=180o-( A+ B)/2=90o+ C/2 , то есть точки A , B , K , L , I лежат на одной окружности Σ (см. рис.). Точки A , B' , I , C' лежат на одной окружности S , так как AB'I= AC'I=90o . Радикальные оси окружностей σ , Σ и S пересекаются в одной точке X ; эти радикальные оси суть прямые KL , B'C' и AI . Так как точки B' и C' симметричны относительно AI , точка X является серединой B'C' . Аналогично получаем, что KL пересекает A'C' в ее середине Y . Но средняя линия XY треугольника A'B'C' , очевидно, равноудалена от A' , B' и C' , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.4.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .