ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111803
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что  MC = AC  и  NB = AB.  Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.


Решение 1

Из симметрии следует, что  ∠BPC = ∠A.  Отсюда  ∠BPC + ∠BMC = ∠B + (180° – ∠AMC) = 180°,  поэтому четырёхугольник BMCP – вписанный. Отсюда  ∠MPA = ∠MPC – ∠APC = ∠MBC – ∠PAC = ∠B – (90° – ∠C) = ∠B + ∠C – 90°.  Аналогично  ∠NPA = ∠B + ∠C – 90°.


Решение 2

При гомотетии с центром A и коэффициентом ½ точки P, N и M переходят в основания высот треугольникаAB . Поэтому утверждение задачи следует из того, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника (см. задачу 52866).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 08.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .