Задача 111803

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Грибалко А.В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что  MC = AC  и  NB = AB.  Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.

Решение 1

Из симметрии следует, что  ∠BPC = ∠A.  Отсюда  ∠BPC + ∠BMC = ∠B + (180° – ∠AMC) = 180°,  поэтому четырёхугольник BMCP – вписанный. Отсюда  ∠MPA = ∠MPC – ∠APC = ∠MBC – ∠PAC = ∠B – (90° – ∠C) = ∠B + ∠C – 90°.  Аналогично  ∠NPA = ∠B + ∠C – 90°.

Решение 2

При гомотетии с центром A и коэффициентом ½ точки P, N и M переходят в основания высот треугольникаAB . Поэтому утверждение задачи следует из того, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника (см. задачу 52866).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.4.10.2