Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
|
|
 |
Условие
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Решение
Из условия следует, что квадратное уравнение f(y) – y – f(x) = 0 разрешимо относительно y при любом x. Подставив x = – a/2, получаем уравнение
y² + (a – 1)y + a²/4, дискриминант которого равен (a – 1)² – a² = 1 – 2a, откуда a ≤ ½. С другой стороны, если a = ½, то при любом x можно положить y = – x: тогда f(y) = x² – ½ x + b = (x² + ½ x + b) – x = f(x) + y, что и требовалось.
Ответ
a = ½.
Замечания
1. Также подходит y = x + ½.
2. Нетрудно проверить, что при x = – a/2 достигается минимум дискриминанта трёхчлена f(y) – y – f(x). Поэтому, если при x = – a/2 он неотрицателен, то он неотрицателен всегда.
