Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа 2008!.
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность.
Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер AB , AA1 , AD и плоскости B1CD1 ; б) рёбер AB , AA1 , AD и прямой CD1 .
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
Решение
Так как PB – касательная, то ∠BAC = ∠PBC. Следовательно, треугольники PBC и PAB подобны по двум углам, и PB : PC = PA : PB. Значит,
PD : PC = PA : PD. Следовательно, треугольники PDC и PAD подобны, и ∠PDC = ∠PAD. Так как точки E и C симметричны относительно BD, то
∠BED = ∠BCD = 180° – ∠CBD – ∠CDB = 180° – ∠CAB – ∠CAD = 180° – ∠BAD, то есть ∠BAD + ∠BED = 180°.
