Задача 111831

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом  n > 3  можно найти многочлен вида  P_n(x) = xⁿ + ... + ax² + bx + c,  имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?

Решение

  Предположим, что такие a, b, c нашлись. Пусть k – максимальное число сомножителей (больших 1 по модулю), на которые раскладывается число c. Тогда у каждого многочлена P_n(x) не больше k корней, отличных от ±1.
  Пусть  x₁, ..., x_n  – корни этого многочлена. Рассмотрим сумму     С одной стороны, в эту сумму входит хотя бы

n – k  единиц, поэтому  S ≥ n – k.  С другой стороны,  
(по теореме Виета для многочлена  P(¹/_x)).  Но это невозможно при больших n.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.5.11.6