ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111831
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Теорема Виета ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом  n > 3  можно найти многочлен вида  Pn(x) = xn + ... + ax² + bx + c,  имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?


Решение

  Предположим, что такие a, b, c нашлись. Пусть k – максимальное число сомножителей (больших 1 по модулю), на которые раскладывается число c. Тогда у каждого многочлена Pn(x) не больше k корней, отличных от ±1.
  Пусть  x1, ..., xn  – корни этого многочлена. Рассмотрим сумму     С одной стороны, в эту сумму входит хотя бы

n – k  единиц, поэтому  S ≥ n – k.  С другой стороны,  
(по теореме Виета для многочлена  P(1/x)).  Но это невозможно при больших n.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.5.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .