ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111834
Темы:    [ Шахматная раскраска ]
[ Свойства разверток ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.


Решение

Покрасим клетки каждой грани куба в шахматном порядке так, чтобы угловые клетки были чёрными. При этом каждая грань содержит 41 чёрную и 40 белых клеток. Заметим, что все согнутые полоски будут одноцветными, а все остальные – нет. Так как количество чёрных клеток на 6 больше чем количество белых, то число чёрных согнутых полосок на 3 больше чем число белых. Следовательно, эти числа разной чётности, и их сумма нечётна.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 07.5.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .