Задача 111849
|
|
 |
Условие
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано числоРешение
N=155 . Пусть на ленточках, на которых записаны числа 1/k! и 1/l! ( k<l ), нашлось по одинаковому куску из N подряд стоящих цифр. Домножим числа 1/k! и 1/l! на степени 10 так, чтобы одинаковые куски оказались сразу после десятичной запятой. Дробные части получившихся дробей 10a/k! и 10b/l! не могут совпадать. Действительно, в противном случае число 10a/k!-10b/l!=10a/((k+1)(k+2).. l)-10b/ l! целое; следовательно, числитель последней дроби делится на l . Тогда на l делится и число 10b . С другой стороны, ни одно число от 81 до 99 не является делителем числа вида 10b , так как каждое из этих чисел содержит в своем разложении на множители хотя бы одно простое число, отличное от 2 и 5.Рассматриваемые нами дробные части ({10a/k!)} и ({10b/l!)} могут быть записаны как обыкновенные дроби со знаменателями k! и l! , а потому– и как дроби со знаменателем 99! , который делится на все числа 80!, 81!, .., 99! ; следовательно, их разность есть разность двух неравных дробей со знаменателем 99! , и она не меньше 1 /99! .
С другой стороны, две правильные десятичные дроби, у которых совпадают первые N цифр после запятой, отличаются меньше, чем на 1/10N . Таким образом, 1/99!<1/10N . Из условия следует, что
Таким образом, куска из 156 знаков всегда достаточно для того, чтобы определить, из какой полоски он вырезан. С другой стороны, на полосках с числами 1/98! и 1/99! есть одинаковые куски по 155 знаков: 1/99!=0,
