|
|
 |
Условие
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа,
обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных
ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число =0,
10715.. ).
Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N
он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?
Решение
N=155 .
Пусть на ленточках, на которых записаны числа 1/k! и 1/l! ( k<l ), нашлось по одинаковому куску из N подряд стоящих цифр.
Домножим числа 1/k! и 1/l! на степени 10 так, чтобы одинаковые куски
оказались сразу после десятичной запятой. Дробные части получившихся дробей 10a/k!
и 10b/l! не могут совпадать. Действительно, в противном случае
число 10a/k!-10b/l!=10a/((k+1)(k+2).. l)-10b/
l! целое; следовательно, числитель последней дроби делится на l .
Тогда на l делится и число 10b . С другой стороны, ни одно число от 81 до 99 не является
делителем числа вида 10b , так как каждое из этих чисел содержит в своем
разложении на множители хотя бы одно простое число, отличное от 2 и 5.
Рассматриваемые нами дробные части ({10a/k!)}
и ({10b/l!)} могут быть записаны как обыкновенные
дроби со знаменателями k! и l! , а потому– и как дроби со
знаменателем 99! , который делится на все числа 80!, 81!, .., 99! ; следовательно,
их разность есть разность двух неравных дробей со знаменателем 99! , и она не меньше 1 /99! .
С другой стороны, две правильные десятичные дроби, у которых
совпадают первые N цифр после запятой, отличаются меньше, чем на 1/10N .
Таким образом, 1/99!<1/10N . Из условия
следует, что >
, поэтому N<156 .
Таким образом, куска из 156 знаков всегда достаточно для того, чтобы
определить, из какой полоски он вырезан. С другой стороны, на полосках
с числами 1/98! и 1/99! есть одинаковые куски по 155
знаков:
1/99!=0, 10715.. ,
а 1/98!=99/99!=100/99!-1 99!=
0,
10715..-
0,
00107..=
0,
106.. ,
то есть на обеих полосках есть кусок
10 .
