ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111852
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?


Решение

Обозначим через R точку пересечения PB, QC и AM (см. рис.). Заметим, что  PM || AC,  MQ || BD,  поэтому четырёхугольники PMCA и QMBD – параллелограммы. Значит,  MC = PA,  BM = DQ  и  PQ = PA + AD + DQ = MC + AD + BM = 2BC.  Так как  BC || PQ  и  BC = ½ PQ,  то BC – средняя линия треугольника PRQ. Значит, и BM – средняя линия треугольника ARP. Тогда  MC = PA = 2BM.


Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.5.8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .