Задача 111852

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Петров Ф., Акопян А.В.

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?

Решение

Обозначим через R точку пересечения PB, QC и AM (см. рис.). Заметим, что  PM || AC,  MQ || BD,  поэтому четырёхугольники PMCA и QMBD – параллелограммы. Значит,  MC = PA,  BM = DQ  и  PQ = PA + AD + DQ = MC + AD + BM = 2BC.  Так как  BC || PQ  и  BC = ½ PQ,  то BC – средняя линия треугольника PRQ. Значит, и BM – средняя линия треугольника ARP. Тогда  MC = PA = 2BM.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	8
задача
Номер	07.5.8.3