ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111874
Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.


Решение

  Пусть точка O1 – середина отрезка BH. Точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром BH, то есть с центром в точке O1.

  Как известно, треугольники A1BC1 и ABC подобны. BQ и BP, а также BO1 и BO – пары соответствующих отрезков в этих треугольниках, значит,
BO1 : BO = BQ : BP,  следовательно,  OO1 || PQ.
  Пусть B' – точка описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная точке B; тогда O – середина отрезка BB', а
ACB' = ∠BCB' – ∠C = 90° – ∠C = ∠A1AC .  Следовательно,  AA1 || CB'.
  Аналогично  CC1 || AB'.  Таким образом, AHCB' – параллелограмм, B0 – его центр и, значит, лежит на диагонали HB'. В треугольнике BHB' отрезок OO1 является средней линией, поэтому  OO1 || HB0.  Итак,  HB0 || OO1 || PQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 08.5.10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .