|
|
 |
Условие
Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника (например, как на рис.). Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.)
Решение
Один из возможных примеров изображён на рисунке.
Замечания
1. Аналогичным образом можно соединить две точки и пятью ломаными так, чтобы все возникающие многоугольники были равны. Оказывается, однако, что соединить две точки шестью ломаными так, чтобы все возникающие многоугольники были равны, невозможно.
2. Интересно, что многоугольниками такого вида можно замостить плоскость, причём непериодическим образом (см. рис.).
3. При взгляде на рисунок может остаться неясным, почему такая конфигурация вообще возможна. Поясним это.
Заметим, что нам достаточно построить такой девятиугольник
AA'XX'B'BA''X''B'', что
(1) ломаная AA'XX'B' переходит при повороте относительно точки A в ломаную AA''X''B''B (рис. слева);
(2) ломаная AA'XX'B'B центрально симметрична.
Осталась только одна проблема: точку X необходимо выбрать так, чтобы в результате построения действительно получился многоугольник – то есть чтобы ломаная AA'XX'B' не пересекалась с ломаной AA''X''B''B, и обе они не пересекались с отрезком BB'.
Заметим, что для первого достаточно, чтобы ломаная AA'XX'B' (а значит, и её образ при повороте AA''X''B''B) постоянно удалялась от A. Действительно, тогда каждая окружность с центром в A пересекается с каждой из двух ломаных ровно по одной точке, причём эти точки не могут совпадать, так как они совмещаются поворотом на ненулевой угол. А с отрезком BB' ломаные не пересекутся, если все их точки будут лежать (проектироваться на прямую, перпендикулярную BB' ) левее этого отрезка.
Всё это можно обеспечить, взяв за X такую точку на перпендикуляре к AA', что угол AXO тупой (чтобы такая точка нашлась, исходный параллелограмм AA'BB' полезно взять достаточно вытянутым – с диагональю AB много длиннее стороны AA').
