Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?
Точка O лежит на диагонали KM выпуклого четырёхугольника KLMN. Известно, что OM = ON и что точка O одинаково удалена от прямых NK, KL и LM. Найдите углы четырёхугольника, если ∠LOM = 55° и ∠KON = 90°.
Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной CD = 3, если расстояния от вершин A и B до прямой CD равны 5 и 7 соответственно.
В треугольнике ABC M – точка пересечения медиан, O – центр вписанной окружности, A', B', C' – точки ее касания со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что, если CA' = AB, то прямые OM и AB перпендикулярны.
Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.
В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.
Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
|
|
 |
Условие
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
Решение
Второй может гарантировать себе ничью: ему достаточно всё время писать числа с суммой цифр 1 (например, просто число 1) – действительно, он делает не больше ходов, чем первый, и на каждом ходе пишет число с не большей суммой цифр. Более того, по той же причине первый игрок проиграет, если хотя бы один раз напишет число с суммой цифр больше 1.
Пусть теперь оба игрока пишут только числа с суммой цифр 1 – то есть 1, 10, 100, 1000 или 10000. Тогда проиграть второй не может, а чтобы
выиграть, ему нужно вынудить противника сделать больше ходов; или, что то же
самое, сделать последний ход.
Докажем, что отвечая на числа 10 и 1000 числом 1, а на числа 100 и 1
числом 10, второй игрок добьётся успеха. Действительно, после каждого его хода
сумма чисел на доске делится на 11, а 10000 на 11 не делится. Поэтому остаётся лишь проверить, что такой ход всегда легален – то есть что после него
сумма не станет больше 10000. Для этого заметим, что первое большее 10000
число, кратное 11, – это 10010, а его нельзя получить, прибавляя 1
или 10 к числу, меньшему 10000.
Ответ
Второй игрок может выиграть.
Замечания
Можно показать, что если заменить 10000 в условии на произвольное число N, то второй игрок может выиграть тогда и только тогда, когда N даёт нечётный остаток при делении на 11.
