ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108078
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.


Подсказка

Докажите, что E – центр вневписанной окружности треугольника ADB.


Решение 1

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а  ∠A = 120°.


Решение 2

Проведём через вершину B прямую, параллельную AD, до пересечения с прямой AC в точке G. Заметим, что  ∠GBA = ∠BAD = ∠DAE = ∠BGC,  то есть треугольник BAG равнобедренный  (AB = AG).  Как известно, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применяя это свойство к биссектрисам DE и BE, получим  DA : DC = AE : EC = BA : BC.  Но  DA : DC = BG : BC  (треугольники ACD и GCB подобны). Значит,  BA = BG  и треугольник BAG – равносторонний. Поэтому  ∠BAG = 60°.


Ответ

120°.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4358
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М1591

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .