Задача 111924

Темы:    [ Цилиндр ] [ Поверхность круглых тел ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Косухин О.Н., Сергеев И.Н.

Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?

Решение

Каждая спица, протыкая моток насквозь, образует на его поверхности две фигуры: по одной при входе и выходе из него. Поэтому площадь поверхности полученного цилиндра складывается из площади поверхности мотка (которая, возможно, и уменьшилась после его протыкания спицами, но всё же осталась положительной) и площадей этих фигур. Площадь каждой из таких фигур не меньше площади круга, образованного ортогональным сечением спицы. Так как радиус каждого такого круга, по условию, равен 1, а всего спиц 72, то, обозначив высоту цилиндра через h , получим для площади его поверхности неравенство

2 · π · 6² + 2π · 6 · h > 2·72 · π,
откуда h>6 .

Ответ

нет, не могла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
класс
Класс	11
задача
Номер	2