ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115292
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.


Решение

Пусть серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке O1. Тогда  O1A = O1B = O1B',  значит, O1 – центр описанной окружности треугольника ABB'. Аналогично точка O2 пересечения серединного перпендикуляра к стороне AC с прямой AB – центр описанной окружности треугольника ACC'. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Общая хорда AP описанных окружностей треугольников ABB' и ACC' перпендикулярна их линии центров O1O2, а так как  O1OAB  и  O2OAC,  то O – точка пересечения высот треугольника AO1O2, поэтому  AOO1O2.  Следовательно, точки A, O и P лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 8
задача
Номер 05.4.8.4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2968

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .