Задача 115326

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает вписанную в этот треугольник окружность в точках F и L . Точка D — основание перпендикуляра из точки C на эту биссектрису, K — основание перпендикуляра из центра вписанной окружности на BD . Докажите, что точки F , L , B и K лежат на одной окружности.

Решение

Пусть окружность с центром I , вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC , AC и AB в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Из точек D и A1 отрезок IC виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IC . Вписанные в эту окружность углы CA1D и CID опираются на одну и ту же дугу, поэтому CA1D = CID , а т.к. IC A1B1 и B1C1 ID , то CID = A1B1C1 . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что A1B1C1 = BA1C1 . Таким образом, CA1D = BA1C1 . Следовательно, точки D , A1 и C1 лежат на одной прямой. Из точек K и A1 отрезок IB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром IB . Прямая DC1 — общая секущая этой окружности и вписанной окружности треугольника ABC , поэтому DF· DL = DC1· DA1 = DB· DK . Следовательно, точки F , L , B и K лежат на одной окружности. Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6330